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第四百六十五章 莫尔斯不等式流形（第1页）

亚瑟·凯利说：“考虑一个山区景观，用水淹没这个景观。当水达到一个的高度时，考虑这个区域的拓扑如何随着水的上升而变化，直观地看来，除了通过临界点的高度之外，它不会改变。”

詹姆斯·麦克斯韦尔说：“这些水只能发生如下三点：填满盆地；覆盖鞍座；淹没高峰。”

亚瑟说：“对于这三个关键点中的每一种：流域、通道和峰值，也可以叫为最小值，鞍形和最大值。”

詹姆斯说：“直观地说，盆地，山谷和山峰的指数分别为0，1和2。”

亚瑟说：“严格来说，关键点的指数是在那一点计算的不确定矩阵的负定子子矩阵的维数。在平滑地图的情况下，海森矩阵证明它是一个对称矩阵。”

在数学中，特别是在差分拓扑中，莫尔斯理论使得人们在莫尔斯之前，在拓扑背景下开发了莫尔斯理论。

莫尔斯开始研究微分拓扑，很多拓扑的结构都有不同的微分结构。

不同的微分结构在离散的点上，可以用相减做差分来分析。

做出差分的性质本身就可以区分很多不同的拓扑的结构。

必然的高亏格的，差分的数要大一些，低亏格的，差分的数要小一些。

当然了不论是什么拓扑的，都尽量的保证曲率是要相等的。

莫尔斯研究拓扑学，想把拓扑学能分解成很多单形。

然后去研究这些单形，根据单形的性质来推敲这个拓扑的性质就可以了。

这里涉及到一个同调群的概念，同调群是很多链组成，链一个复形上每个单形的有向的成分集合而成的。这些有向的单形的边形成了一个图论，而图论可以用拉普拉斯矩阵拉表示。所以拓扑中的同调群可以用矩阵来表示。

这个矩阵的研究往往就是看维度有关的信息，就是秩。

这个秩的大小与组成单形的个数有一个不等式关系。

这个不等式关系是恒成立的。

所以莫尔斯可以通过研究该多面体的可微分函数来分析多面体的拓扑。

根据马斯顿·莫尔斯的见解，在多面体上的典型可微函数将直接反映拓扑结构。莫尔斯理论允许人们找到CW结构并处理多面体的分解，并获得关于它们的同源性实质信息。

莫尔斯原来将他的理论应用于测地学（路径上能量函数的关键点）。这些技术在RaoulBott的周期定理的证明中被使用。

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